Question

【題目】已知橢圓的離心率為，焦距為．斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為．若，和點(diǎn)共線，求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)離心率和焦距求得，由此求得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)坐標(biāo).求得、，結(jié)合三點(diǎn)共線列方程，化簡求得的值.

（1）由題意得，所以，

又，所以，所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)，，，，

則①，②，

又，所以可設(shè)，

直線的方程為，

由消去可得：

，

則，即，

又，代入①式可得，

所以，所以，

同理可得．

故，，

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，

所以，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡可得，

即．