Question

如圖在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M,N分別是線段和BD上的點(diǎn)，且AM=BN=

（1）求||的最小值；

（2）當(dāng)||達(dá)到最小值時(shí)，與，是否都垂直，如果都垂直給出證明；如果不是都垂直，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)；（2）垂直，詳見解析．

【解析】

試題分析：(1)作，連.易知,再由余弦定理可得：，則，根據(jù)二次函數(shù)的知識(shí)即可得到其最小值；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法，寫出，，的坐標(biāo)，利用數(shù)量積即可求證它們是否垂直．

試題解析：（1）作，連.易知

在，由余弦定理可得：

在，。當(dāng)時(shí)，最小值=．

(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線分別為軸建立直角坐標(biāo)系,由(1)可知,,所以點(diǎn),,,,,,

則,,,

,

即當(dāng)||達(dá)到最小值時(shí)，與，是否都垂直.

考點(diǎn)：本題主要考查了立體幾何中的向量方法，以及運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．.