Question

【題目】如圖，拋物線的焦點為F，準線l與x軸的交點為A．點C在拋物線E上，以C為圓心，為半徑作圓，設圓C與準線l交于不同的兩點M，N．

（Ⅰ）若點C的縱坐標為2，求；

（Ⅱ）若，求圓C的半徑．

Answer 1

【答案】（1）2（2）

【解析】試題分析：由拋物線的方程表示出焦點的坐標及準線方程，求出到準線的距離，再利用圓中弦長公式即可求出

設，表示出圓的方程，與拋物線解析式聯(lián)立組成方程組，設，利用韋達定理表示出，利用，得，解得的縱坐標，從而得到圓心的坐標，由兩點間的距離公式求出，即為圓的半徑。

解析：（Ⅰ）拋物線的準線l的方程為

由點C的縱坐標為2，得點C的坐標為（1，2）

∴點C到準線l的距離d=2，又，

∴

（Ⅱ）設，則圓C的方程為

即．

由，得．

設，則

，

由，得

∴，解得，此時．

∴圓心C的坐標為，

從而，

即圓C的半徑為

點睛:本題主要考查了拋物線的方程，圓的方程與性質，直線與圓的位置關系等基礎知識，考查了學生的運算求解能力，推理論證能力，考查了函數與方程思想，數形結合思想，化歸與轉化思想，屬于中等難度題。