Question

在（3x-2y）²⁰的展開式中，
求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；
（3）系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用展開式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，判斷出第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第11項(xiàng)．
（2）根據(jù)最大的系數(shù)絕對(duì)值大于等于其前一個(gè)系數(shù)絕對(duì)值；同時(shí)大于等于其后一個(gè)系數(shù)絕對(duì)值；列出不等式求出系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．
（3）據(jù)系數(shù)正負(fù)交替出現(xiàn)，故求系數(shù)最大的項(xiàng)，只需研究奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)即可；據(jù)最大的系數(shù)大于等于其前一個(gè)系數(shù)同時(shí)大于等于其后一個(gè)系數(shù)；列出不等式求出系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第11項(xiàng)，
T₁₁=C₂₀¹⁰3¹⁰（-2）¹⁰x¹⁰y¹⁰=C₂₀¹⁰6¹⁰x¹⁰y¹⁰．
（2）設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第k+1項(xiàng)，于是

C k 20 •320-k•2k≥ C k+1 20 •319-k•2k+1 C k 20 •320-k•2k≥ C k-1 20 •321-k•2k-1

，
化簡(jiǎn)得

3(k+1)≥2(20-k) 2(21-k)≥3k

，
解得7

2

5

≤k≤8

2

5

．
所以k=8，即T₉=C₂₀⁸3¹²•2⁸•x¹²y⁸是系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．
（3）由于系數(shù)為正的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，故可設(shè)第2k-1項(xiàng)系數(shù)最大，于是

C 2k-2 20 •322-2k•22k-2≥ C 2k-4 20 •324-2k•2k-4 C 2k-2 20 •322-2k•22k-2≥ C 2k 20 •320-2k•22k

，
化簡(jiǎn)得

10k2+143k-1007≤0 10k2+163k-924≥0

．
又k為不超過(guò)11的正整數(shù)，可得k=5，即第2×5-1=9項(xiàng)系數(shù)最大，T₉=C₂₀⁸•3¹²•2⁸•x¹²•y⁸．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大、考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、考查求系數(shù)最大項(xiàng)的方法．