Question

【題目】如圖，已知四棱錐中，平面平面，平面平面，為上任意一點(diǎn)，為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)。

（1）證明：平面平面；

（2）若，當(dāng)四棱錐的體積被平面分成3：1兩部分時(shí)，若二面角的大小為，求的值。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）通過(guò)在面內(nèi)作交線的垂線，和面面垂直性質(zhì)定理證明面ABCD，再通過(guò)面PDB,證明平面平面。（2）設(shè)三棱錐的高為，由體積比可得，故此時(shí)為的中點(diǎn)。可證面面。過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則，故即為二面角的平面角，即。進(jìn)一步求的的值。方法二是利用空量向量求得比值。

（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，由于平面面，所以面

面，故；同理，過(guò)點(diǎn)作于，則

面，面,且

所以面ABCD。所以，又，

故面，所以面面面。

（2）若四棱錐的體積被面分成3：1兩部分，則的體積是整個(gè)四棱錐體積的，設(shè)三棱錐的高為，則（為菱形的面積），所以，故此時(shí)為的中點(diǎn)，此時(shí)，并且，故面面，故面，，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則面，連接，則，故即為二面角的平面角，即

設(shè)，則，

在中，，故，

可解得，故

解法二：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)則，設(shè)

則

面的法向量為，設(shè)面面的法向量為，則，取，則