Question

已知f(x)=ax³+x²+cx+d是定義在R上的函數(shù)，其圖象與x軸上的一個交點為(2,0)，若f(x)在［-1,0］和［4，5］上是減函數(shù)，在［0，2］上是增函數(shù).

(1)求c的值；

(2)求d的取值范圍；

(3)在函數(shù)f(x)的圖象上是否存在一點M(x₀,y₀)，使得曲線y=f(x)在點M處切線的斜率為3？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：f′(x)=3ax²+2x+c.

(1)∵f(x)在［-1，0］是減函數(shù)，在［0，2］上為增函數(shù)，

∴x=0點是f(x)的一個極值點.

∴f′(0)=0,

    即x=0是3ax²+2x+c=0的一個根，

∴c=0.

(2)∵f(2)=0,∴8a+4+d=0,d=-8a-4.

    令f′(x)=0得：3ax²+2x=0  ∴x₁=0,x₂=.

∵f(x)在［0,2］上為增函數(shù)，在［4,5］上為減函數(shù)，

∴x₂∈［2,4］,∴-6≤≤-3，即-≤a≤-.

∴≤-8a≤，

∴-≤-8a-4≤-，

    即-≤d≤-.

(3)假設存在點M(x₀,y₀),

    使得曲線y=f(x)在點M處的切線的斜率為3，則f′(x₀)=3,

    即3a+2x₀=3,3a+2x₀-3=0,Δ=4+36a，

∵-≤a≤-.∴-12≤36a≤-6

∴Δ=4+36a＜0.

∴不存在點M(x₀,y₀)，使得曲線y=f(x)在點M處的切線的斜率為3.