Question

已知f(x)=

x 2 ，x≥0 x2，x＜0

則f（f（x））＞1的解集是

(-∞，-

2

)∪(4，+∞)

．

Answer 1

分析：分兩種情況考慮：當x大于等于0時，根據(jù)分段函數(shù)解析式可得f（x）=

x

2

，化簡所求不等式的左邊，再根據(jù)

x

2

也大于等于0，再根據(jù)f（x）=

x

2

，可把所求不等式化為關(guān)于x的一元一次不等式，求出不等式的解集與x大于等于0求出交集，即為原不等式的解集；當x小于0時，根據(jù)分段函數(shù)解析式得出f（x）=x²，而x²大于0，再根據(jù)f（x）=

x

2

，可把所求不等式化為關(guān)于x的一元二次不等式，分解因式后，根據(jù)兩數(shù)相乘積大于0，可得兩因式同號，轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，求出不等式組的解集，與x小于0求出交集，即為原不等式的解集，綜上，求出兩解集的并集即可得到所求不等式的解集．

解答：解：當x≥0時，f（x）=

x

2

，
∵

x

2

≥0，
∴f（f（x））=f（

x

2

）=

x

4

，
所求不等式化為

x

4

＞1，
解得x＞4，
此時原不等式的解集為（4，+∞）；
當x＜0時，f（x）=x²，
∵x²＞0，
∴f（f（x））=f（x²）=

x2

2

，
所求不等式可化為

x2

2

＞1，即（x+

2

）（x-

2

）＞0，
可化為

x+ 2 ＞0 x- 2 ＞0

或

x+ 2 ＜0 x- 2 ＜0

，
解得：x＞

2

或x＜-

2

，
此時原不等式的解集為（-∞，-

2

），
綜上，原不等式的解集為(-∞，-

2

)∪(4，+∞)．
故答案為：(-∞，-

2

)∪(4，+∞)

點評：此題考查了其他不等式的解法，分段函數(shù)的解析式，一元二次不等式的解法，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，是高考中常考的基本題型．