Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，若， ， ，求的極小值；

（3）設(shè)， .若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，且滿(mǎn)足，問(wèn)：函數(shù)在處的切線能否平行于軸？若能，求出該切線方程，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）不能

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)題意寫(xiě)出：g（x）再求導(dǎo)數(shù)，由題意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即，n由此即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用換元法令t=ex，則t∈[1，2]，則h（t）=t3-3at，接下來(lái)利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性，從而得出h（x）的極小值；
（Ⅲ）對(duì)于能否問(wèn)題，可先假設(shè)能，即設(shè)F（x）在（x0，F(xiàn)（x0））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x2-kx結(jié)合題意，列出方程組，證得函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，最后出現(xiàn)矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立，即切線不能否平行于x軸．

試題解析：

解：（Ⅰ）

由題意，知恒成立，即

又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

故，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，則，則

由，得或（舍去），，

①若，則單調(diào)遞減；在也單調(diào)遞減；

②若，則單調(diào)遞增. 在也單調(diào)遞增；

故的極小值為

（Ⅲ）設(shè)在的切線平行于軸，其中

結(jié)合題意，有

①-②得，所以由④得

所以⑤

設(shè)，⑤式變?yōu)?/span>

設(shè)，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，即

也就是，，此式與⑤矛盾.

所以在處的切線不能平行于軸.