Question

已知向量a＝(x²，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函數(shù)f(x)＝a·b在區(qū)間(－1，1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

探究：解法一：依定義f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t， 　　則(x)＝－3x2＋2x＋t． 　　若f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)，則在(－1，1)上可設(shè)(x)≥0． 　　∴(x)≥0t≥3x2－2x，在區(qū)間(－1，1)上恒成立，考慮函數(shù)g(x)＝3x2－2x， 　　由于g(x)的圖象是對稱軸為x＝， 　　開口向上的拋物線，故要使t≥3x2－2x在區(qū)間(－1，1)上恒成立t≥g(－1)，即t≥5． 　　而當(dāng)t≥5時，(x)在(－1，1)上滿足(x)＞0，即f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)． 　　故t的取值范圍是t≥5． 　　解法二：依定義f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t， 　　(x)＝－3x2＋2x＋t． 　　若f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)，則在(－1，1)上可設(shè)(x)≥0． 　　∴(x)的圖象是開口向下的拋物線， 　　∴當(dāng)且僅當(dāng)(1)＝t－1≥0，且(－1)＝t－5≥0時 　　(x)在(－1，1)上滿足(x)＞0，即f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)． 　　故t的取值范圍是t≥5． 　　規(guī)律總結(jié)：①這是導(dǎo)函數(shù)增減性的一個簡單應(yīng)用，也就是說，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)可判斷增減性，反之也可以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的增減性，求有關(guān)的參變量． 　�、趯τ诤�有字母系數(shù)的問題，根據(jù)題設(shè)正確地確定字母的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵之一．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，為我們研究函數(shù)的單調(diào)性提供了有力的工具，在今后的學(xué)習(xí)中要養(yǎng)成使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的習(xí)慣．