Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=

3

．
（1）畫出該三棱柱的三視圖，并標(biāo)明尺寸；
（2）求三棱錐A₁-AB₁C₁的體積；
（3）若D是棱CC₁的中點，則當(dāng)點E在棱AB何處時，DE∥平面AB₁C₁？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三視圖的畫法規(guī)則：“長對正，寬相等，高平齊”即可畫出；
（2）通過等積變形及三棱錐與同底等高的三棱柱的體積關(guān)系即可得出；
（3）通過面面平行即可得到線面平行．

解答：解：（1）三視圖如圖所示：
（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴由勾股定理得AC=

3

．
又∵AA1=

3

，AA₁⊥平面ABC，∴矩形ACC₁A₁為正方形．
∴VA1-AB1C1=VA-A1B1C1=

1

3

VABC-A1B1C1=

1

3

×

1

2

×

3

×1×

3

=

1

2

．
（3）當(dāng)點E為棱AB的中點時，DE∥平面AB₁C₁．
證明如下：
如圖，取BB₁的中點F，連EF、DF、DE，
∵D、E、F分別為CC₁、AB、BB₁的中點，
∴EF∥AB₁．
∵AB₁?平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁，
∴EF∥平面AB₁C₁．
同理可證FD∥平面AB₁C₁．
∵EF∩FD=F，
∴平面EFD∥平面AB₁C₁．
∵DE?平面EFD，
∴DE∥平面AB₁C₁．

點評：熟練掌握三視圖的畫法規(guī)則、等積變形及利用面面平行證明線面平行是解題的關(guān)鍵．