Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心AA1=2

2

，C1H⊥平面AA₁B₁B且C1H=

5

．
（1）求異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值；
（2）求二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值．

Answer 1

分析：（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量的夾角即可得出；
（2）先求出兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的余弦值．

解答：解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點B為坐標(biāo)原點．
依題意得A(2

2

，0，0)，B（0，0，0），C(

2

，-

2

，

5

)，A1(2

2

，2

2

，0)，
B1(0，2

2

，0)，C1(

2

，

2

，

5

)．
（1）易得

AC

=(-

2

，-

2

，

5

)，

A1B1

=(-2

2

，0，0)
于是cos＜

AC

，

A1B1

＞=

AC • A1B1

| AC | | A1B1|

=

4

3×2 2

=

2

3

．
∴異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值為

2

3

．
（2）易知

AA1

=(0，2

2

，0)，

A1C1

=(-

2

，-

2

，

5

)．
設(shè)平面AA₁C₁的法向量

m

=(x，y，z)，則

m • A1C1 =0 m • AA1 =0

，即

- 2 x- 2 y+ 5 z=0 2 2 y=0

，
不妨令x=

5

，則z=

2

，可得

m

=(

5

，0，

2

)．
同樣可設(shè)面A₁B₁C₁的法向量

n

=(x1，y1，z1)，得

n

=(0，

5

，

2

)．
于是cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

2

7 7

=

2

7

，∴sin＜

m

，

n

＞=

3 5

7

．
∴二面角A-A₁C-B₁的正弦值為

3 5

7

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用異面直線的方向向量的夾角求異面直線所成的角、兩個平面的法向量的夾角求二面角的方法是解題的關(guān)鍵．