Question

如圖：四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PB∥平面EAC．
（1）求征：PE=ED；
（2）若AD=AB，求二面角A-PC-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于O，連接EO，則O為BD的中點(diǎn)，利用PB∥平面EAC，可得線線平行，從而可得PE=ED．
（2）在PC上取點(diǎn)M使得PM=

1

4

PC，連接AM，證明∠AME為二面角A-PC-D的平面角，在Rt△AEM中，即可求二面角A-PC-D的大�。�

解答：解：（1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接EO，
∵PB∥平面EAC，EO?平面EAC，EO?平面PDB，
∴EO∥PB，
∵四棱錐P-ABCD的底面是矩形，
∴O是AC的中點(diǎn)，
∴E是PD的中點(diǎn)，
∴PE=ED．
（2）解：在PC上取點(diǎn)M使得PM=

1

4

PC．
由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC
所以在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，
連接AM，因?yàn)锳E⊥平面PCD，所以AM⊥PC．
所以∠AME為二面角A-PC-D的平面角．
在Rt△AEM中，tan∠AME=

AE

ME

=

3 2

1 2 × 2 2

=

6

．
即二面角A-PC-D的正切值為

6

．
∴二面角A-PC-D的大小為arctan

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行，線面垂直的證明方法．二面角的基本求法．考查學(xué)生的空間想象能力，識(shí)圖的能力，嚴(yán)密的邏輯思維能力．