Question

【題目】已知函數(shù)，且是曲線的切線.

（1）求實(shí)數(shù)a的值以及切點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】(1) ，切點(diǎn)為 (2)證明見解析

【解析】

（1）求出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，可得切線的斜率，由切線方程可得的方程，解方程可得；

（2）先通過對(duì) 求導(dǎo)利用函數(shù)單調(diào)性，得到，再構(gòu)造函數(shù) ，求導(dǎo)利用函數(shù)單調(diào)性得到，即可求解。

解：（1）設(shè)切點(diǎn)為，則切線為

即

從而

消去a得：

記

則，顯然單調(diào)遞減且，

所以時(shí)，，單增，時(shí)，，單減，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值，而.

所以，切點(diǎn)為

（2）（方法一）記，，則

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

∴，∴，即①

，

則

∴時(shí)，，單調(diào)遞減；

時(shí)，，單調(diào)遞增

∴，即，∴即②

由①②得.

（方法二）令，

則

令，易知在上單增，且，

所以當(dāng)時(shí)，，從而；

當(dāng)時(shí)，，從而，

即在單減，在單增，

則的最小值為

所以當(dāng)時(shí)，，即，

，即，

（方法三）記，則調(diào)遞減

時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以，故，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)

故，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).

欲證，只需證明，即

記，則

從而時(shí)，，單調(diào)遞減，

時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以，，可得，即

∴.