Question

已知：一個(gè)圓錐的底面半徑為R=2，高為H=4，在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱．
（1）寫(xiě)出圓柱的側(cè)面積關(guān)于x的函數(shù)；
（2）x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大．

Answer 1

分析：（1）畫(huà)出圓錐的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和比例的性質(zhì)，得出內(nèi)接圓柱底面半徑r與x關(guān)系式，利用由圓柱的側(cè)面積公式，得到函數(shù)解析式，
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)易得到其最大值，及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為r，
S_{圓柱側(cè)}=2πrx①，∵

r

R

=

H-x

H

∴r=

R

H

(H-x)=

1

2

(4-x)
②代入①得S_{圓柱側(cè)}=2πx•

1

2

(4-x)=π（-x²+4x）（0＜x＜4）
（2）S_{圓柱側(cè)}=-π（x-2）2+4π，所以x=2時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大為4π

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓錐的幾何特征及圓錐及圓柱的側(cè)面積公式，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是解答立體幾何題最常用的思路．