Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的值；

（2）若對任意的，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意可知，關(guān)于的方程的兩根分別為和，由韋達定理可求出的值；

（2）由題意可知，求出函數(shù)的最大值，然后分、、三種情況討論，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，解出不等式即可.

（1）根據(jù)題意可知，關(guān)于的方程的兩根分別為和，

由韋達定理可得，因此，；

（2）對任意的，，不等式恒成立，

則，

對于函數(shù)，，

由于內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

外層函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，即.

由于二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.

①當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

此時，，由題意可得，解得，

此時，；

②當(dāng)時，即當(dāng)時，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，，由題意得，解得，

此時，；

③當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

此時，，由題意可得，解得，

此時，.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.