Question

【題目】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立.

（1）求的取值范圍；

（2）當(dāng)取最大值，且的周長(zhǎng)為時(shí)，求面積的最大值，并指出面積取最大值時(shí)的形狀．（參考知識(shí)：已知、，；、，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）面積的最大值為，此時(shí)為等邊三角形.

【解析】

（1）分和兩種情況討論，在時(shí)檢驗(yàn)即可，在時(shí)，可得出，由此可求得的取值范圍；

（2）由（1）知，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，利用等號(hào)成立的條件判斷的形狀，利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.

（1），則.

當(dāng)時(shí)，，原不等式即為對(duì)一切實(shí)數(shù)不恒成立；

當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，

解得或（舍去）.

，則，所以，，

因此，的取值范圍是；

（2），，的最大值為.

由余弦定理得，

由基本不等式可得，

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.

的面積為（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.

此時(shí)，面積的最大值為，為等邊三角形.