Question

【題目】已知圓的一條直徑是橢圓的長軸，過橢圓上一點(diǎn)的動直線與圓相交于點(diǎn)，弦的最小值為.

（1）求圓及橢圓的方程；

（2） 已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一定點(diǎn)，直線的方程為，若點(diǎn)到定直線的距離與到定點(diǎn)的距離之比為，求定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)圓的方程為，橢圓的方程為；(2) .

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時， 最小，根據(jù)垂徑定理求半徑，根據(jù)長軸得a，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程解得b,（2）設(shè)，利用點(diǎn)到直線距離公式以及兩點(diǎn)間距離公式化簡條件得恒等式，根據(jù)恒等式成立條件解出

試題解析：（1）當(dāng)時， 最小，因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)閳A的一條直徑是橢圓的長軸，所以

又點(diǎn)在橢圓上，所以，

所以圓的方程為，橢圓的方程為

（2）依題意設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，

點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，故有，

即得： ，

又點(diǎn)在橢圓上，則，因此有，

即對恒成立，

所以，即定點(diǎn)的坐標(biāo)為，即為橢圓的右焦點(diǎn).