【題目】已知函數
.
（1）當
時，討論
的單調性；
（2）證明：當
且
時，只有一個零點.
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.
【解析】
（1）對函數求導，將
分成
和
兩類，討論函數的單調區(qū)間.（2）對分成和
兩類，利用函數的單調性和零點存在性定理，證明函數
只有一個零點.
解：（1）
．
當時，由
得
，由
得
，
在
單調遞減，在
單調遞增．
當時，由得
，由得
或，在
單調遞減，在
和單調遞增．
（2）當時，由（1）知，在上最大值為
，在沒有零點．因為
，
，在單調遞增，所以在有唯一零點．所以只有一個零點.
當時，根據函數導數可知，在單調遞增，在
單調遞減，在
單調遞增．在上最大值為，在沒有零點．因為
，
．
令
，
，當
時，
，故
在
單調遞增，所以
，
在單調遞增，所以
，因此
．因為在單調遞增，所以在有唯一零點．所以只有一個零點.
綜上，當
且
時，只有一個零點．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，對于直線
和點
、
，記
，若
，則稱點
,
被直線l分隔，若曲線C與直線l沒有公共點，且曲線C上存在點,被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線.
（1）求證：點
、
被直線
分隔；
（2）若直線
是曲線
的分隔線，求實數
的取值范圍；
（3）動點M到點
的距離與到y軸的距離之積為1，設點M的軌跡為E，求E的方程，并證明y軸為曲線E的分隔線.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有A、B、C、D四個問題，規(guī)則如下：
①每位參加者記分器的初始分均為10分，答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分；
②每回答一題，記分器顯示累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數仍不足14分時，答題結束，淘汰出局；
③每位參加者按問題A、B、C、D順序作答，直至答題結束．
假設甲同學對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為
、
、
、
，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
（1）求甲同學能進入下一輪的概率；
（2）用ξ表示甲同學本輪答題結束時答題的個數，求ξ的分布列和數學期望Εξ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學的高二（1）班男同學
名，女同學
名，老師按照分層抽樣的方法組建了一個
人的課外興趣小組．
（1）求某同學被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學的人數；
（2）經過一個月的學習、討論，這個興趣小組決定選出兩名同學做某項實驗，方法是先從小組里選出
名同學做實驗，該同學做完后，再從小組內剩下的同學中選名同學做實驗，求選出的兩名同學中恰有名女同學的概率；
（3）實驗結束后，第一次做實驗的同學得到的實驗數據為
，第二次做實驗的同學得到的實驗數據為
，請問哪位同學的實驗更穩(wěn)定？并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中，角
， 
， 
所對的邊分別為
， 
， 
，且
.
（Ⅰ）求角
的大��；
（Ⅱ）已知
， 
的面積為
，求
的周長.
【答案】（Ⅰ）
.（Ⅱ）
.
【解析】【試題分析】(I)利用正弦定理和三角形內角和定理化簡已知,可求得
的值,進而求得
的大小.(II)利用余弦定理和三角形的面積公式列方程組求解的
的值,進而求得三角形周長.
【試題解析】
（Ⅰ）由
及正弦定理得， 
，
，∴
，
又∵
，∴
.
又∵
，∴
.
（Ⅱ）由
， 
，根據余弦定理得
，
由
的面積為
，得
.
所以
，得
，
所以
周長
.
【題型】解答題
【結束】
18
【題目】為促進農業(yè)發(fā)展，加快農村建設，某地政府扶持興建了一批“超級蔬菜大棚”.為了解大棚的面積與年利潤之間的關系，隨機抽取了其中的7個大棚，并對當年的利潤進行統(tǒng)計整理后得到了如下數據對比表：
大棚面積（畝） | 4.5 | 5.0 | 5.5 | 6.0 | 6.5 | 7.0 | 7.5 |
年利潤（萬元） | 6 | 7 | 7.4 | 8.1 | 8.9 | 9.6 | 11.1 |
由所給數據的散點圖可以看出，各樣本點都分布在一條直線附近，并且
與
有很強的線性相關關系.
（Ⅰ）求
關于
的線性回歸方程；
（Ⅱ）小明家的“超級蔬菜大棚”面積為8.0畝，估計小明家的大棚當年的利潤為多少；
（Ⅲ）另外調查了近5年的不同蔬菜畝平均利潤（單位：萬元），其中無絲豆為：1.5，1.7，2.1，2.2，2.5；彩椒為：1.8，1.9，1.9，2.2，2.2，請分析種植哪種蔬菜比較好？
參考數據： 
， 
.
參考公式： 
， 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題正確的有________（填序號）
①已知
或
，
，則p是q的充分不必要條件；
②“函數
的最小正周期為
”是“
”的必要不充分條件；
③
中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
，
，則“
”是“為等腰三角形”的必要不充分條件；
④若命題
“函數
的值域為
”為真命題，則實數a的取值范圍是
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下圖1，是某設計員為一種商品設計的平面logo樣式.主體是由內而外的三個正方形構成.該圖的設計構思如圖2,中間正方形
的四個頂點,分別在最外圍正方形ABCD的邊上,且分所在邊為a，b兩段.設中間陰影部分的面積為
，最內正方形
的面積為
.當
，且
取最大值時，定型該logo的最終樣式，則此時a，b的取值分別為_____________.
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