Question

（2010•邯鄲二模）已知向量

a

，

b

為單位向量，且

a

•

b

=-

1

2

，向量

c

與

a

+

b

共線，則|

a

+

c

|的最小值為（　　）

• A．1
• B．

  1

  2

• C．

  3

  4

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：由向量

c

與

a

+

b

共線，利用向量共線定理可得：存在實(shí)數(shù)λ使得

c

=λ(

a

+

b

)．利用向量的數(shù)量積得性質(zhì)可得|

a

+

c

|=|

a

+λ(

a

+

b

)|=|(1+λ)

a

+λ

b

|=

(1+λ)2 a 2+λ2 b 2+2λ(1+λ) a • b

把已知代入化簡利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：∵向量

c

與

a

+

b

共線，∴存在實(shí)數(shù)λ使得

c

=λ(

a

+

b

)．
∴|

a

+

c

|=|

a

+λ(

a

+

b

)|=|(1+λ)

a

+λ

b

|
=

(1+λ)2 a 2+λ2 b 2+2λ(1+λ) a • b

=

(1+λ)2+λ2+2λ(1+λ)×(- 1 2 )

=

λ2+λ+1

=

(λ+ 1 2 )2+ 3 4

≥

3 4

=

3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)λ=-

1

2

時(shí)取等號．
故選D．

點(diǎn)評：熟練掌握向量共線定理、數(shù)量積得性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．