Question

（I） 已知拋物線過焦點的動直線l交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點, 求證: 為定值;
（Ⅱ）由 （Ⅰ） 可知: 過拋物線的焦點的動直線 l 交拋物線于兩點, 存在定點, 使得為定值. 請寫出關于橢圓的類似結論,并給出證明.

Answer 1

(I) 見解析；
(II) 過橢圓的一個焦點的動直線l交橢圓于、兩點, 存在定點, 使為定值.

本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問題．在解決直線與圓錐曲線綜合問題時，常把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立．
（1）先討論出當直線l垂直于x軸時，的值；再設出直線方程，把直線與拋物線方程聯(lián)立，得到A，B兩點的坐標和斜率之間的關系，再代入 
計算即可得到結論
（2）先寫出類似結論，再根據(jù)第一問求 
的方法即可得到結論．（注意要分直線斜率存在和不存在兩種情況討論）．
解: (I) 若直線l垂直于x軸, 則, .
……………2分
若直線l不垂直于x軸, 設其方程為, .
由
……………4分


.
綜上, 為定值. ……………6分
(II) 關于橢圓有類似的結論: 過橢圓的一個焦點的動直線l交橢圓于、兩點, 存在定點, 使為定值. ……………7分
證明: 不妨設直線l過橢圓的右焦點其中
若直線l不垂直于x軸, 則設其方程為: , .
由得:
……………9分
由對稱性可知, 設點在x軸上, 其坐標為
所以



要使為定值,
只要
即
此時……………12分
若直線l垂直于x軸, 則其方程為, , .
取點,
有……………13分
綜上, 過焦點的任意直線l交橢圓于、兩點, 存在定點

使為定值.                ……………14分