Question

【題目】設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+2）=﹣f（x）．當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x﹣x2 ． 當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，則f（x）= ．

Answer 1

【答案】x2﹣6x+8
【解析】解：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+2）=﹣f（x）；

∴用x+2代替x，則f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），

即f（x+4）=f（x），

∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x﹣x2+a，

∴f（0）=a=0，∴f（x）=2x﹣x2；

當(dāng)x∈[﹣2，0]時(shí)，﹣x∈[0，2]，

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[2（﹣x）﹣（﹣x）2]=2x+x2；

∴當(dāng) x∈[2，4]時(shí)，x﹣4∈[﹣2，0]，

∴f（x﹣4）=2（x﹣4）+（x﹣4）2=x2﹣6x+8；

又∵f（x）的周期是4，∴f（x）=f（x﹣4）=x2﹣6x+8，

∴在x∈[2，4]時(shí)，f（x）=x2﹣6x+8；

所以答案是：x2﹣6x+8

【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．