Question

如圖，兩條相交線段、的四個(gè)端點(diǎn)都在拋物線上，其中，直線的方程為，直線的方程為．

（1）若，，求的值；
（2）探究：是否存在常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有？

Answer 1

(1)   (2)

解析試題分析：
(1)聯(lián)立直線與拋物線方程可以求出的坐標(biāo),設(shè)出A點(diǎn)的坐標(biāo),且滿足A點(diǎn)在橢圓上和,即根據(jù)AB為角平分線且與x軸垂直可得AP與AQ所在直線的傾斜角互為補(bǔ)角(斜率互為相反數(shù)),故兩條件聯(lián)立即可求出m的值.
(2) 聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于的坐標(biāo)的韋達(dá)定理,由(1)這種特殊情況可得滿足題意的只可能是,故一一帶入驗(yàn)證是否能使得即可.
試題解析：
（1）由，
解得，．    2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ae/7/1r6zt4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
設(shè)，則，
化簡得，    5分
又，聯(lián)立方程組，解得，或．
（也可以從，來解得）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f3/b/1thqa2.png" style="vertical-align:middle;" />平分，所以不合，故．    7分
（2）設(shè)，，由，得．
，，．    9分
若存在常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有，則由（Ⅰ）知只可能．
當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，
即，
即，
即，此式恒成立．
（也可以從恒成立來說明）
所以，存在常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有．    14分
考點(diǎn)：斜率 拋物線