Question

設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的圓錐曲線C，離心率為

2

，且過點(diǎn)（5，4），則其焦距為

6

2

．

Answer 1

分析：設(shè)出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1  (a＞0，b＞0)，根據(jù)題中條件建立關(guān)于a、b的方程組，解之可得a=b=3，進(jìn)而可以算出該雙曲線的焦距．

解答：解：由題意，雙曲線是等軸雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)（5，4），得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上．
設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1  (a＞0，b＞0)
可得

52 a2 - 42 b2 =1  c a = a2+b2 a = 2

，解之得a=b=3，
∴c=

a2+b2

=3

2

可得雙曲線的焦距2c=6

2

故答案為：6

2

點(diǎn)評：本題給出等軸雙曲線經(jīng)過定點(diǎn)，求雙曲線的焦距．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、基本概念和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．