Question

（分）是直角三角形斜邊上的高，（），分別是的內(nèi)心，的外接圓分別交于，直線交于點(diǎn)；證明：分別是的內(nèi)心與旁心．

Answer 1

略

：如圖，連，由，則圓心在上，設(shè)直徑交于，并簡記的三內(nèi)角為，由


，
所以∽，得，且，故∽，而，
注意，，
所以，因此，同理得，故與重合，即圓心在上，而，
，所以平分；
同理得平分，即是的內(nèi)心，是的旁心．
證二：如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120546095493.gif" style="vertical-align:middle;" />，故的外接圓圓心在上，連，則由為內(nèi)心知，
， 所以
，
于是四點(diǎn)共圓，所以
，又因，因此點(diǎn)在上，即為與的交點(diǎn)．設(shè)與交于另一點(diǎn)，而由，
，可知，分別為的中點(diǎn)，所以，
．因此，點(diǎn)分別為的內(nèi)心與旁心．