Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）﹣x2在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個實數(shù)p，q，且p≠q，不等式 ＞1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A.[15，+∞）
B.（﹣∞，15]
C.（12，30]
D.（﹣12，15]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵ 的幾何意義為： 表示點（p+1，f（p+1）） 與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，
∵實數(shù)p，q在區(qū)間（0，1）內(nèi)，故p+1 和q+1在區(qū)間（1，2）內(nèi)．
不等式 ＞1恒成立，
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，
故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在（1，2）內(nèi)恒成立．
由函數(shù)的定義域知，x＞﹣1，
∴f′（x）= ＞1 在（1，2）內(nèi)恒成立．
即 a＞2x2+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．
由于二次函數(shù)y=2x2+3x+1在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
故 x=2時，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值為15，
∴a≥15
∴a∈[15，+∞）．
故選A．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．