Question

【題目】如圖，直角梯形中， , ,平面平面, 為等邊三角形， 分別是的中點， .

(1)證明： ;

(2)證明： 平面;

(3)若,求幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（1）由為等邊三角形， 是的中點知，由平面平面及面面垂直性質(zhì)定理知， 平面，再由線面垂直定義得EF⊥CD；（2）取AE的中點G，連結(jié)MG，DG，因為M是BE的中點，所以MG∥且等于AB的一半，又因為AB∥CD且AB= ， ，所以DN平行且等于MG，所以MGDN是平行四邊形，所以MN∥DG，由線面平行的判定定理可得MN∥面ADE；（3）由（1）知EF⊥面ABCD，所以EF是四棱錐E-ABCD的高，由△BEC為正三角形，BC=2，可求得EF的長，由題知ABCD為直角梯形，AB⊥BC，AB=1，BC=2，所以DC=2AB=2，可求出底面ABCD的面積，所以四棱錐D-ABCD的體積就等于.

【解析】試題分析：（1）（2）（3）

試題解析：(1)證明： 為等邊三角形， 是的中點

1分

又因為平面平面，交線為, 平面

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得平面; 3分

又 平面

4分

(2)證明：取中點G，連接

,且6分

,

,且8分

四邊形是平行四邊形

9分

又 平面， 平面

平面10分

(3)解：依題，直角梯形中，

則直角梯形的面積為12分

由（1）可知平面， 是四棱錐的高

在等邊中，由邊長,得13分

故幾何體的體積為

14分

考點: 線面垂直定義；面面垂直性質(zhì)定理；線面平行的判定；簡單幾何體體積計算；邏輯推理能力；運算求解能力