Question

 已知曲線y=x³+.
(1)求曲線在x=2處的切線方程；
（2）求曲線過點(diǎn)（2，4）的切線方程.

Answer 1

（1）4x-y-4=0（2）切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0

 （1）∵y′=x²,
∴在點(diǎn)P（2，4）處的切線的斜率k=y′|_x=2="4.                " 3分
∴曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程為y-4=4(x-2),
即4x-y-4="0.                                              " 6分
（2）設(shè)曲線y=x³+與過點(diǎn)P（2，4）的切線相切于點(diǎn)
A(x₀，x₀³+)，則切線的斜率
k=y′|=x₀².                                            8分
∴切線方程為y-(x₀³+)=x₀²(x-x₀),
即y=x₀²·x-x₀³+.                                        10分
∵點(diǎn)P（2，4）在切線上，∴4=2x₀²-x₀³+,
即x₀³-3x₀²+4=0,∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0,
∴x₀² (x₀+1)-4(x₀+1)(x₀-1)=0,
∴(x₀+1)(x₀-2)²=0,解得x₀=-1或x₀=2,
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2="0.                    " 14分