Question

【題目】在數(shù)列中，、是給定的非零整數(shù)，．

（1）若，，求；

（2）證明：從中一定可以選取無窮多項(xiàng)組成兩個(gè)不同的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

【答案】（1）1（2）見解析

【解析】

（1）因，，，，，，，

，，，…．

所以自第20項(xiàng)起，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期的取值為1，1，0．

又，故．

（2）首先證明：數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)“0”項(xiàng)．

假設(shè)中沒有“0”項(xiàng)，由于，所以當(dāng)時(shí)，都有．

若，則．

若，則．

即要么比至少小1，要么比至少小1，

令，，2，3，…，則．

由于是確定的正整數(shù)，這樣下去，必然存在某項(xiàng)，這與矛盾，

故中必有“0”項(xiàng)．

若第一次出現(xiàn)的“0”項(xiàng)為，記，

則自第項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期的取值0、、，

即，，，，1，2，…

所以數(shù)列中一定可以選取無窮多項(xiàng)組成兩個(gè)不同的常數(shù)列．