【題目】已知四棱錐
的底面是直角梯形，
，
，且
，
，
為
的中點(diǎn).
求證：
；
求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】
證明見解析；
.
【解析】
利用勾股定理，線面垂直的判定定理和性質(zhì)求證即可.
以
為原點(diǎn)，分別以
，
所在直線為
軸，
軸，過點(diǎn)且與
平行的直線為
軸建立空間直角坐標(biāo)系
，設(shè)平面
的一個(gè)法向量為
，進(jìn)而求出
，設(shè)直線
與平面
所成角為
，即可利用公式求出直線與平面所成角的正弦值.
解：因?yàn)?/span>
，
所以
，
又
為
的中點(diǎn)，
所以
，
，
連接
，在
中，
為的中點(diǎn)，
所以
.
因?yàn)?/span>
，
所以
，
又
，
所以
平面
.
又
平面，
所以
.
如圖，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，過點(diǎn)且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則
，
，
，
，
，
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
，
由
，得
令
，可得.
設(shè)直線與平面所成角為，
則
.
即直線與平面所成角的正弦值為.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)
，使得“對(duì)任意
恒成立”？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下列命題：
①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A與B是對(duì)立事件．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】長(zhǎng)春市統(tǒng)計(jì)局對(duì)某公司月收入在
元內(nèi)的職工進(jìn)行一次統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示職工月收入在區(qū)間
內(nèi)，單位：元）.
（Ⅰ）請(qǐng)估計(jì)該公司的職工月收入在
內(nèi)的概率；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購(gòu)，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù).
市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情況，在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了
人，并將這人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過
元）：
消費(fèi)金額（單位：百元） |
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|
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|
頻數(shù) |
|
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|
|
|
|
由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額
（單位：元）近似地服從正態(tài)分布
，其中
近似為樣本平均數(shù)
（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值，
）.現(xiàn)從該市任取
名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額恰在
元至
元之間的人數(shù)為
，求的數(shù)學(xué)期望；
市某大學(xué)后勤部為鼓勵(lì)大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價(jià)值元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎(jiǎng)”的活動(dòng).規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第
格、第
格、第
格、…、第
格共
個(gè)方格.棋子開始在第格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是
，其中
），若擲出正面，將棋子向前移動(dòng)一格（從
到
），若擲出反面，則將棋子向前移動(dòng)兩格（從到
）.重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第
格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功”，并贈(zèng)送
元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎(jiǎng)勵(lì)，活動(dòng)結(jié)束.
①設(shè)棋子移到第
格的概率為
，求證：當(dāng)
時(shí)，
是等比數(shù)列；
②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量
服從正態(tài)分布，則
，
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
（1）判斷
的單調(diào)性；
（2）當(dāng)
在
上恒成立時(shí)，求
的取值范圍；
（3）當(dāng)
時(shí)，求函數(shù)在
上的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知曲線
（
為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn)，
軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線
的極坐標(biāo)方程為：
.
（1）求直線和曲線
的直角坐標(biāo)方程；
（2）
，直線和曲線交于
、
兩點(diǎn)，求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
是無窮等比數(shù)列，若的每一項(xiàng)都等于它后面所有項(xiàng)的
倍，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
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