Question

(x+

a

x

)8（a＞0）展開式中，中間項(xiàng)的系數(shù)為70．若實(shí)數(shù)x、y滿足

x-y+1≥0 x+y≥0 x≤a

則z=x+2y的最小值是（　�。�

• A．-1
• B．

  1

  2

• C．5
• D．1

Answer 1

分析：由題意可得，展開式中的中間項(xiàng)為共有9項(xiàng)，中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可求a，然后作出不等式組表示的平面區(qū)域，由z=x+2y可得，y=-

1

2

x+

1

2

z，則

1

2

z表示直線在y軸上的截距，截距越小，z越小，結(jié)合圖形可求z的最小值

解答：解：由題意可得，展開式中的中間項(xiàng)為共有9項(xiàng)，中間項(xiàng)為第5項(xiàng)
∴T5=

C

4 8

x4(

a

x

)4=a4

C

4 8

x2
∴a4

C

4 8

=70
∵a＞0
∴a=1
∵

x-y+1≥0 x+y≥0 x≤a

，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示
由z=x+2y可得，y=-

1

2

x+

1

2

z，則

1

2

z表示直線在y軸上的截距，截距越小，z越小
當(dāng)z=x+2y經(jīng)過點(diǎn)B時，z最小，
由

x=1 x+y=0

可得B（1，-1），此時Z=-1
故選A

點(diǎn)評：本題主要考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用，線性規(guī)劃在求解目標(biāo)函數(shù)中的最值中的應(yīng)用，本題具有一定的綜合性