Question

【題目】已知奇函數(shù)f（x）=a-（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）判定并證明f（x）的單調(diào)性；

（2）若對任意實數(shù)x，f（x）＞m2-4m+2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）上的遞增函數(shù)，證明見解析；（2）.

【解析】

（1）用單調(diào)性定義證明；

（2）先用奇函數(shù)性質(zhì)求出a=1，再根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)最值，最后用最值使不等式成立即可．

解：（1）f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)．

證明：因f（x）的定義域為R，任取x1，x2∈R且x1＜x2．

則f（x2）-f（x1）=-=．

∵y=ex為增函數(shù)，∴＞＞0，∴+1＞0，+1＞0．

∴f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），

故f（x）是R上的遞增函數(shù)．

（2）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），

∴a-=-a+，∴2a=2，∴a=1，

∴f（x）=1-，

令t=ex+1，∵ex＞0，∴t＞1，

又g（t）=1-在（1，+∞）上為增函數(shù)，

∴-1＜g（t）＜1，即-1＜f（x）＜1，

當(dāng)f（x）＞m2-4m+2對任意實數(shù)x恒成立，

有m2-4m+2≤-1，即m2-4m+3≤0，

∴1≤m≤3，

故實數(shù)m的取值范圍是[1，3]．