Question

【題目】已知橢圓：（）短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，且直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線，都經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)，與橢圓分別交于，兩點(diǎn)，且.求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)

【解析】

（1）根據(jù)橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，直線與圓相切，建立方程組，求出，，即可求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為：，，，則，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，整理得：，從而求出直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)；

解：（1）由題意，①，，②

由① ②得：，，所以橢圓的方程為：；

（2）顯然直線與軸不平行，

設(shè)直線的方程為：，，

由，

所以，.

因?yàn)?/span>，

所以

整理得：，

所以直線的方程為：，即直線過(guò)定點(diǎn).