Question

【題目】已知函數(shù)，，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)在處的切線方程為.求證：對(duì)任意的，總有.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由此求出函數(shù)的最小值，只要最小值小于0即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）首先由條件得出的值確定函數(shù)解析式，然后由得到，最后構(gòu)造前后兩個(gè)函數(shù)，驗(yàn)證前一個(gè)函數(shù)的最小值大于后一個(gè)函數(shù)的最大值。

詳解：（Ⅰ）易得.

若，有，不合題意；

若，有，

，滿足題設(shè)；

若，令，得

∴在上單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，

則，∴.

又滿足題設(shè)，

綜上所述，所求實(shí)數(shù).

（Ⅱ）證明：易得，，

則由題意，得，解得.

∴，從而，即切點(diǎn)為.

將切點(diǎn)坐標(biāo)代入中，解得. ∴.

要證，即證（ ，

只需證 ）.

令， .

則由，得，

∴在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，

∴.

又由，得

∴在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

∴.

∴，

顯然，上式的等號(hào)不能同時(shí)取到.

<>故對(duì)任意的，總有.