Question

某學(xué)校校辦工廠有毀壞的房屋一座，留有一面14m的舊墻，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面墻的一段為面墻，建造平面圖形為矩形且面積為126m²的廠房（不管墻高），工程的造價是：
（1）修1m舊墻的費用是造1m新墻費用的25%；
（2）拆去1m舊墻用所得的材料來建1m新墻的費用是建1m新墻費用的50%．
問如何利用舊墻才能使建墻的費用最低？

Answer 1

分析：設(shè)保留舊墻x m，即拆去舊墻（14-x）m修新墻，分別計算修舊墻的費用、拆舊墻建新墻的費用、新墻的費用，再利用基本不等式可求最低費用．

解答：解：設(shè)保留舊墻x m，即拆去舊墻（14-x）m修新墻，設(shè)建1m新墻費用為a元，則
修舊墻的費用為y₁=25%×ax=

1

4

ax；
拆舊墻建新墻的費用為y₂=（14-x）×50%a=

1

2

a（14-x）；
矩形邊長為x，所以另一邊長為

126

x

，矩形總周長即為

2×126

x

+2x，因為有14m舊墻拆掉或拆舊建新，所以新墻就是

2×126

x

+2x-14，新墻的費用為：y₃=（

252

x

+2x-14）a．
于是，所需的總費用為：
y=y₁+y₂+y₃=[(

7

4

x+

252

x

)-7]a≥(2

7 4 x• 252 x

-7)a=35a，
當(dāng)且僅當(dāng)

7

4

x=

252

x

，即x=12時上式的“=”成立；
故保留12 m的舊墻時總費用為最低．

點評：本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用問題，考查建立函數(shù)模型解決實際問題的意識，通過建立的模型選擇合適的方法求解相應(yīng)的最值．根據(jù)題意將實際問題的數(shù)學(xué)模型建立起來是解決本題的關(guān)鍵．