Question

根據(jù)下列條件，求圓的方程.

(1)圓心在直線5x-3y=8上，又圓與坐標(biāo)軸相切，求此圓方程.

(2)已知圓心C(2，-1)，且截直線y=x-1所得的弦長為，求圓C的方程.

Answer 1

【探究】 對于(1)、(2)可用標(biāo)準(zhǔn)方程與待定系數(shù)法解答；對于(3)，由于已知圓心，故只需求出半徑，根據(jù)垂徑定理：弦長的一半與弦心距、半徑組成一個直角三角形，故半徑可求.

解：(1)設(shè)所求圓方程為(x-x₀)²+(y-y₀)²=r².

∵圓與坐標(biāo)軸相切，故圓心滿足x₀-y₀=0或x₀+y₀=0.

又圓心在直線5x-3y=8,∴5x₀-3y₀=8.

解方程組或解得或

∴圓心坐標(biāo)為(4，4)或(1，-1).

∴可得半徑r=|x₀|=4或r=|x₀|=1.

∴所求圓方程為(x-4)²+(y-4)²=4²或(x-1)²+(y+1)²=1.

(2)由已知可設(shè)所求圓的半徑為r，圓心到直線y=x-1的距離為d，則.

∵直線y=x-1被圓截得的弦長為，

∴由垂徑定理，得,∴r²=4.

∴所求圓的方程為(x-2)²+(y+1)²=4.

【規(guī)律總結(jié)】 ①本例的兩個小題都是求圓的方程的中等難度題.由于所給條件都與圓心、半徑有關(guān)，故都利用了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.此外，平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用使得解法簡便了許多.②與本例相似的題目較多，其解題思路都是從確定圓心與半徑入手，充分利用平面幾何性質(zhì)，如，設(shè)圓上的點A(2，3)關(guān)于直線x+2y=0的對稱點仍在圓上，且在直線x-y+1=0上截得的弦長為，求圓的方程.