Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，是的中點，.

（1）求證：平面；

（2）若異面直線和所成角的余弦值為，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）3

【解析】

（1）連接，交于點，連結，利用中位線定理證明平面。

（2）通過平移，表示出異面直線和所成角，結合正弦定理及三角形面積公式求得。所以可得解。

解法一：

（1）連結，交于點，連結.

在直三棱柱中，四邊形為平行四邊形，

所以為的中點，

又為的中點，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）因為，為銳角，

所以為異面直線和所成的角，

所以由條件知，

在中，，，

，，

.

又平面，平面，，

所以，

，

，

所以.

解法二：（1）證明：取的中點，連結，，，

在直三棱柱中，

四邊形為平行四邊形，又是的中點，

所以，所以四邊形是平行四邊形，

所以，又平面，平面，

所以平面，

因為，所以四邊形是平行四邊形，

所以，又平面，平面，

所以平面，

又，平面，

所以平面平面，

又平面，所以平面.

（2）過作于，

因為平面，平面，所以，

又，平面，所以平面.

因為，為銳角，

所以為異面直線和所成的角，

所以由條件知，

在中，，，

，，

，

又，，，

所以.