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        1. 如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PD⊥底面ABCD,則下列命題中:
          ①AC⊥PB;
          ②AB∥平面PCD;
          ③PA與平面PBD所成的角等于PC與平面PBD所成的角;
          ④異面直線AB與PC所成的角等于異面直線DC與PA所成的角.
          正確的命題為
          ①②③
          ①②③
          分析:根據(jù)題意,結(jié)合三垂線定理判定異面垂直可得AC⊥PB,故①是真命題;根據(jù)線面平行判定定理,得到②是真命題;根據(jù)直線與平面所成角的定義,結(jié)合Rt△PAD≌Rt△PCD,可得③是真命題;根據(jù)異面直線所成角的定義,得到AB與PC所成的角不等于異面直線DC與PA所成的角,故④是假命題.
          解答:解:對于①,因為PD⊥底面ABCD,得BD是PB在平面ABCD內(nèi)的射影
          又因為ABCD為正方形,所以BD⊥AC,可得AC⊥PB,故①是真命題;
          對于②,因為AB∥CD,AB?平面PCD且CD?平面PCD,
          所以AB∥平面PCD,故②是真命題;
          對于③,因為AD、CD分別為PA、PC在平面ABCD內(nèi)的射影
          所以∠PAD、∠PCD分別是PA與平面PBD所成的角和PC與平面PBD所成的角.
          又因為Rt△PAD≌Rt△PCD,所以∠PAD=∠PCD,可得③是真命題;
          對于④,因為AB∥CD,可得∠PCD等于AB與PC所成的角,是一個銳角
          而CD⊥平面PAD,可得CD⊥PA,即DC與PA所成的角為直角,
          所以AB與PC所成的角不等于異面直線DC與PA所成的角,故④是假命題
          故答案為:①②③
          點評:本題給出底面為正方形且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,判斷幾個關(guān)于位置關(guān)系命題的真假.著重考查了空間線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的定義與求法等知識,屬于中檔題.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
          E是PC的中點.求證:
          (Ⅰ)CD⊥AE;
          (Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點.
          (1)求證:AD⊥PB;
          (2)求三棱錐P-MBD的體積.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
          2
          ,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
          (1)求證:PD⊥AC;
          (2)在棱PA上是否存在一點E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
          AE
          AP
          的值,若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
          3
          ,點F是PB中點.
          (Ⅰ)若E為BC中點,證明:EF∥平面PAC;
          (Ⅱ)若E是BC邊上任一點,證明:PE⊥AF;
          (Ⅲ)若BE=
          3
          3
          ,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
          2
          ,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
          (1)求點A到平面PBD的距離;
          (2)求θ的大小;當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動點Q的軌跡方程.

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          同步練習冊答案