【題目】已知函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)
時，如果方程
有兩個不等實(shí)根
，求實(shí)數(shù)t的取值范圍，并證明
.
【答案】（1）當(dāng)
時，
的單調(diào)遞增區(qū)間是
，單調(diào)遞減區(qū)間是
；當(dāng)
時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）
，證明見解析.
【解析】
（1）求出
，對
分類討論，分別求出
的解，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）得出
有兩解時
的范圍，以及
關(guān)系，將
，等價轉(zhuǎn)化為證明
，不妨設(shè)
，令
，則
，即證
，構(gòu)造函數(shù)
，只要證明對于任意
恒成立即可.
（1）的定義域?yàn)?/span>R，且
.
由
，得
；由
，得
.
故當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，
單調(diào)遞減區(qū)間是；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，
單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）由（1）知當(dāng)
時，
，且
.
當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
.
當(dāng)
時，直線
與
的圖像有兩個交點(diǎn)，
實(shí)數(shù)t的取值范圍是.
方程有兩個不等實(shí)根
，
，
，
，
，
，即
.
要證，只需證
，
即證
，不妨設(shè).
令，則，
則要證
，即證.
令，則
.
令
，則
，
在
上單調(diào)遞增，
.
，
在上單調(diào)遞增，
，即
成立，
即成立.
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)
的圖象在點(diǎn)
處的切線方程為
，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)有2個不同的零點(diǎn)
，
．
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】“微信運(yùn)動”是手機(jī)
推出的多款健康運(yùn)動軟件中的一款，大學(xué)生M的微信好友中有400位好友參與了“微信運(yùn)動”．他隨機(jī)抽取了40位參與“微信運(yùn)動”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，其中女性好友走路的步數(shù)情況可分為五個類別：
、
步，（說明：“”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），
、
步，
、
步，
、
步，
、
步，且、、三種類別的人數(shù)比例為
，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如圖所示的柱形圖；男性好友走路的步數(shù)數(shù)據(jù)繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）若以大學(xué)生
抽取的微信好友在該天行走步數(shù)的頻率分布，作為參與“微信運(yùn)動”的所有微信好友每天走路步數(shù)的概率分布，試估計(jì)大學(xué)生的參與“微信運(yùn)動”的400位微信好友中，每天走路步數(shù)在
的人數(shù)；
（Ⅱ）若在大學(xué)生該天抽取的步數(shù)在的微信好友中，按男女比例分層抽取6人進(jìn)行身體狀況調(diào)查，然后再從這6位微信好友中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪，求其中至少有一位女性微信好友被采訪的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示多面體中，AD⊥平面PDC，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E，F分別為AD，BP的中點(diǎn)，AD＝3，AP＝3
，PC
．
（1）求證：EF//平面PDC；
（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
，
.
（1）若
，求函數(shù)
的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若數(shù)的極值點(diǎn)是
，求b、c的值；
（3）若
，曲線
在
處的切線斜率為
，求證：的極大值大于
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)
（1）若
，求
的最小值；
（2）記f（x）的圖象在
處的切線的縱截距為
，求的極值；
（3）若
有2個零點(diǎn)
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】直三棱柱
中，
，
分別是
的中點(diǎn)，
，
為棱
上的點(diǎn)．
（1）證明：
；
（2）是否存在一點(diǎn)，使得平面
與平面
所成銳二面角的余弦值為
？若存在，說明點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由．
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