Question

拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)C，焦點(diǎn)為F．A、B是拋物線上的兩點(diǎn)．己知A．B，C三點(diǎn)共線，且|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列，直線AB的斜率為k，則有

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根據(jù)拋物線方程求出點(diǎn)C（-，0），可得直線AB方程為y=k（x-），將其與拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂和x₁x₂關(guān)于p、k的式子，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式算出|AB|=•．再利用拋物線的定義，得到|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=+p，而|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列得出|AF|+|BF|=2|AB|，從而建立關(guān)于p、k的等式，化簡(jiǎn)整理得•=，即可解出，得到本題答案．
解答：∵拋物線y²=2px的準(zhǔn)線方程為x=-，
∴準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)C坐標(biāo)為（-，0）
因此，得到直線AB方程為y=k（x-），與拋物線y²=2px消去y，
化簡(jiǎn)整理，得，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系得
∴|AB|==•
=•=•
∵|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列，
∴|AF|+|BF|=2|AB|，
根據(jù)拋物線的定義得|AF|=x₁+，|BF|=x₂+，
因此，得到x₁+x₂+p=2•，即+p=2•，
化簡(jiǎn)得=，約去得•=
∴（1+k²）（1-k²）=，解之得k²=
故選：D
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線準(zhǔn)線交對(duì)稱軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，A、B與焦點(diǎn)F構(gòu)成的三角形的三邊成等差數(shù)列，求直線AB的斜率．著重考查了拋物線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．