Question

【題目】設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對稱.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，問是否存在直線，使得四邊形的對角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在直線為滿足題意，詳見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)對稱性求出點(diǎn)，從而可得出橢圓兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橢圓定義求出的值，結(jié)合的值，可求出的值，從而寫出橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，可得出直線的方程為，設(shè)，， 將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去，得出有關(guān)的一元二次方程，并列出韋達(dá)定理，同理將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知條件得出線段與的中點(diǎn)重合，從而可得出有關(guān)的方程，求出的值，即可得出直線的方程．

（Ⅰ）解：由點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對稱，得，

所以橢圓E的焦點(diǎn)為，，

由橢圓定義，得 .

所以 ，.

故橢圓的方程為；

（Ⅱ）解：結(jié)論：存在直線，使得四邊形的對角線互相平行.

理由如下：

由題可知直線，直線的斜率存在，

設(shè)直線的方程為，直線的方程為

由，消去

得，

由題意，可知 ，設(shè)，，

則，，

由消去,

得，

由，可知，設(shè)，又，

則

若四邊形的對角線互相平行，則與的中點(diǎn)重合，

所以，即

故

所以

解得，

所以直線為，四邊形的對角線互相平分．