Question

【題目】已知四邊形是邊長為5的菱形，對角線（如圖1），現(xiàn)以為折痕將菱形折起，使點達(dá)到點的位置，棱，的中點分為，，且四面體的外接球球心落在四面體內(nèi)部（如圖2），則線段長度的取值范圍為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據(jù)外接球的性質(zhì)確定出四面體的外接球球心，利用勾股定理，求出和，進而求出，借助三角函數(shù)的取值范圍及，即可求得線段長度的取值范圍.

如圖，由題意可知，的外心在中線上，

設(shè)過點的直線平面，易知平面，

同理的外心在中線上，

設(shè)過點的直線平面，則平面，

由對稱性易知，直線，的交點在直線上，

根據(jù)外接球的性質(zhì)，點為四面體的外接球球心，

，，

又，

由勾股定理可得，即，解得，

在中，，即，解得，

而，，

所以，

令，顯然，

所以，

因為，所以，又，

所以，即，

綜上所述，.

故答案為：.