Question

某投資公司在2010年年初準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：
項(xiàng)目一：新能源汽車．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為

7

9

和

2

9

；
項(xiàng)目二：通信設(shè)備．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為

3

5

、

1

3

和

1

15

．
（1）針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由；
（2）若市場(chǎng)預(yù)期不變，該投資公司按照你選擇的項(xiàng)目長(zhǎng)期投資（每一年的利潤(rùn)和本金繼續(xù)用作投資），問(wèn)大約在哪一年的年底總資產(chǎn)（利潤(rùn)+本金）可以翻一番？（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意寫出兩個(gè)項(xiàng)目的獲利的分布列，根據(jù)分布列做出期望，結(jié)果兩個(gè)項(xiàng)目的獲利期望相等，再求出兩個(gè)項(xiàng)目的獲利的方差，結(jié)果項(xiàng)目一的方差要小，得到雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥．
（2）大約第n年的年底總資產(chǎn)可以翻一番，根據(jù)條件列出關(guān)于n的等式，要求的未知數(shù)在指數(shù)上，這種題目一般要兩邊取對(duì)數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，寫出n的值．

解答：解：（1）由題意知年底可能獲利30%，也可能虧損15%，
且這兩種情況發(fā)生的概率分別為

7

9

和

2

9

；
若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利ξ₁萬(wàn)元，
∴ξ₁的分布列為

∴Eξ1=300×

7

9

+(-150)×

2

9

=200（萬(wàn)元）
若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利ξ₂萬(wàn)元，則ξ₂的分布列為：

∴Eξ2=500×

3

5

+(-300)×

1

3

+0×

1

15

=200（萬(wàn)元）．
又Dξ1=(300-200)2×

7

9

+(-150-200)2×

2

9

=35000，Dξ2=(500-200)2×

3

5

+(-300-200)2×

1

3

+(0-200)2×

1

15

=140000，
∴Eξ₁=Eξ₂，Dξ₁＜Dξ₂，
這說(shuō)明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥．
綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資．
（2）假設(shè)n年后總資產(chǎn)可以翻一番，依題意：1000(1+

200

1000

)n=2000，即1.2ⁿ=2，
兩邊取對(duì)數(shù)得：n=

lg2

2lg2+lg3-1

=

0.3010

2×0.3010+0.4771-1

≈3.8053．
∴大約4年后，即在2013年底總資產(chǎn)可以翻一番．
即建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資；大約在2013年底，總資產(chǎn)可以翻一番．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差、對(duì)數(shù)的運(yùn)算等知識(shí)，以及運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是一個(gè)綜合題目．