Question

已知圓錐的體積是12πcm³，其側(cè)面展開圖是中心角為216°的扇形．
（1）求圓錐側(cè)面積；
（2）若一個圓柱下底面在圓錐的底面上，上底面與圓錐面相切，求該圓柱側(cè)面積最大值．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)出圓錐的底面半徑以及弧長，通過圓錐的體積是12πcm³，其側(cè)面展開圖是中心角為216°列出關(guān)系式，求出底面半徑以及弧長，即可求解圓錐側(cè)面積．
（2）設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r′，高為h′，根據(jù)三角形相似找出h′與r′的關(guān)系，然后表示出內(nèi)接圓柱側(cè)面積，最后利用基本不等式求出最值即可，注意等號成立的條件．

解答： 解：（1）設(shè)圓錐的底面半徑為r，弧長為l，
∵圓錐的體積是12πcm³，其側(cè)面展開圖是中心角為216°的扇形，
∴

1

3

πr2

l2-r2

=12π…①，

2πr

l

=216×

π

180

…②，
解①②可得：r=3，l=5，圓錐的高為4，
圓錐側(cè)面積：πrl=15π．（cm²）．
（2）設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r′，高為h′，如右圖，
∵△CAB∽△CED，
∴

ED

AB

=

CD

CB

，即

h′

4

=

3-r′

3

，則h′=

4

3

（3-r′），
∴內(nèi)接圓柱側(cè)面積S=2πr′h′=2πr′×

4

3

（3-r′）=

8π

3

r′（3-r′）≤

8π

3

（

r′+3-r′

2

）2=6π，
當(dāng)且僅當(dāng)r′=3-r′，即r′=

3

2

時取等號，
∴內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大值是6π．

點評：本題主要考查了圓錐的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積，以及基本不等式在最值中的應(yīng)用，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．