Question

已知銳角α、β滿足

5

[sin(π-

α

2

) +sin(

π

2

+

α

2

) ]• [cos(

π

2

-

α

2

) +cos(π+

α

2

) ]=-1且

1

3

sinβ+sin（2α+β）=0
（1）求cosα的值；
（2）求α+β的值．

Answer 1

分析：（1）利用誘導公式化簡已知的第一個等式后，再根據二倍角的余弦函數公式即可求出cosα的值；
（2）由（1）求出的cosα的值，及α為銳角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinα的值，進而求出tanα的值，以及sin2α和cos2α的值，然后利用兩角和與差的正弦函數公式化簡已知第二個等式左邊的第二項，把sin2α和cos2α的值代入，合并移項后，利用同角三角函數間的基本關系弦化切求出tanβ的值，最后利用兩角和與差的正切函數公式表示出tan（α+β），把tanα和tanβ的值代入求出tan（α+β）的值，由α、β為銳角，求出α+β的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出α+β的度數．

解答：解：（1）∵

5

[sin(π-

α

2

) +sin(

π

2

+

α

2

) ]• [cos(

π

2

-

α

2

) +cos(π+

α

2

) ]=-1，
整理得：

5

（sin

α

2

+cos

α

2

）（sin

α

2

-cos

α

2

）=-1，
則cosα=cos²

α

2

-sin²

α

2

=

5

5

；
（2）∵cosα=

5

5

，且α為銳角，
∴sinα=

2 5

5

，tanα=2，
則sin2α=2sinαcosα=

4

5

，cos2α=cos²α-sin²α=-

3

5

，
又

1

3

sinβ+sin（2α+β）=0，
即

1

3

sinβ+sin2αcosβ+cos2αsinβ=

1

3

sinβ+

4

5

cosβ-

3

5

sinβ=0，
∴tanβ=3，
則tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2+3

1-2×3

=-1，
又α、β為銳角，∴0＜α+β＜π，
則α+β=

3π

4

．

點評：此題考查了三角函數的恒等變換及化簡求值，涉及的知識有：誘導公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正切函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．