Question

如圖，在三棱錐M-ABC中，AB=2AC=2，MA=MB=

5

2

，AB=4AN，AB⊥AC，平面MAB⊥平面ABC，S為BC中點
（1）證明：CM⊥SN；
（2）求SN與平面CMN所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一：（1）向量法，取AB中點O，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點、向量，利用

CM

•

SN

=0，證明CM⊥SN；
（2）求出平面CMN的法向量、

SN

，利用向量的夾角公式，即可求得SN與平面CMN所成角；
解法二：（1）取AB中點O，連接MO、CO、SO，利用平面MAB⊥平面ABC，證明MO⊥平面ABC，從而可證CM⊥SN；
（2）在△MNC中，利用等體積計算S到平面MNC的距離，即可求得SN與平面CMN所成角．

解答：
解法一：（1）證明：取AB中點O，由題意，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，各點坐標(biāo)如下：C（-1，1，0）、M(0，0，

1

2

)、N(-

1

2

，0，0)、S(0，

1

2

，0)
∴

CM

=(1，-1，

1

2

)，

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)…（5分）
∴

CM

•

SN

=0，∴CM⊥SN…（6分）
（2）由題意知

CN

=(

1

2

，-1，0)，

NM

=(

1

2

，0，

1

2

)…（8分）
設(shè)平面CMN的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • CN =0 n • MN =0

，∴

x 2 -y=0 x 2 + z 2 =0

平面CMN的法向量為

n

=(2，1，-2)…（10分）
∴|cos＜

n

，

SN

＞|=

2

2

，∴SN與平面CMN所成角為

π

4

…（12分）
解法二：（1）取AB中點O，連接MO、CO、SO
∵M(jìn)A=MB，∴MO⊥AB
∵平面MAB⊥平面ABC，平面MAB∩平面ABC=AB
∴MO⊥平面ABC…（2分）
∵△NOS和△AOC都是等腰直角三角形
∵AB=2AC=2，AB=4AN，
∴AO=CO，NO=SO，
∴∠AOC=45°，∠ONS=45°，
∴CO⊥SN，∴CM⊥SN…（6分）
（2）在△MNC中，MN=

2

2

CN=

5

2

CM=

3

2

，
∴S△MNC=

3

8

…（10分）
設(shè)S到平面MNC的距離為h，SN與平面CMN所成角為θ
∵V_M-NSC=V_S-NMC
∴S_△NSC•MO=S_△MNC•h
∴h=

1

2

…（11分）
∴sinθ=

h

SN

=

2

2

∴SN與平面CMN所成角為

π

4

…（12分）

點評：本題考查線線垂直，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定，掌握線面角的求法，屬于中檔題．