Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，AB=AC=AD=4，點(diǎn)P，Q分別在側(cè)面ABC棱AD上運(yùn)動(dòng)，PQ=2，M為線段PQ中點(diǎn)，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比等于

 

．

Answer 1

分析：由已知中三棱錐A-BCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，AB=AC=AD=4，我們易計(jì)算出三棱錐A-BCD的體積，又由點(diǎn)P，Q分別在側(cè)面ABC棱AD上運(yùn)動(dòng)，PQ=2，M為線段PQ中點(diǎn)，我們可以判斷M的軌跡與三棱錐轉(zhuǎn)成的兩個(gè)幾何體的體積，進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵三棱錐A-BCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，AB=AC=AD=4，
則棱錐A-BCD的體積V=

1

3

×

1

2

×4×4×4=

32

3

又∵點(diǎn)P，Q分別在側(cè)面ABC棱AD上運(yùn)動(dòng)，PQ=2，M為線段PQ中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M的軌跡在以A為球心以1半徑的球面上
則點(diǎn)M的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比為：

1

8

•

4

3

•π：（

32

3

-

1

8

•

4

3

•π）=π：（64-π）
故答案為：

π

64-π

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積及球的體積，其中判斷出M的軌跡在以A為球心以1半徑的球面上是解答本題的關(guān)鍵．