Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=

3

，∠ACB=90°，M是線段PD上的一點（不包括端點）．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）求異面直線AC與PD所成的角的余弦值；
（3）若點M為側棱PD中點，求直線MA與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA⊥底面ABCD，∠ACB=90°，我們可得PA⊥BC，BC⊥AC，由線面垂直的判定定理，可得BC⊥平面PAC；
（2）取CD的中點E，易得在A點AP，AE，AB三線垂直，以A為坐標原點建立空間坐標系，求出直線AC與PD的方向向量，代入向量夾角公式，即可異面直線AC與PD所成的角的余弦值；
（3）同由已知中AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，我們可得AC=1，進而得到PC=PD，設CD的中點為E，連接PE，由等腰三角形“三線合一”我們可得PE⊥CD，又由PA⊥CD，結合線面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAE，過A作PE的垂線AF，垂足為F，則∠AME就是線MA與平面PCD所成角，解三角形AME，即可得到答案．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD
∴PA⊥BC
又∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
又PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC；
（2）取CD的中點E，則AE⊥CD，∴AE⊥AB．又∵PA⊥底面ABCD，AE?面ABCD，∴PA⊥AE，（5分）
以C為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖
．則
A(0，0，0)，P(0，0，

3

)，C(

3

2

，

1

2

，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，E（

3

2

，0，0）

AC

=(

3

2

，

1

2

，0)，

PD

=(

3

2

，-

1

2

，

3

，
設AC，PD的夾角為θ
則cosθ=

AC • PD

| AC |•| PD |

=

1 2

1×1

=

1

2

即異面直線AC與PD所成的角的余弦值為

1

2

．
（3）過A作PE的垂線AF，垂足為F，則AF⊥平面PCD
∴∠AME就是直線MA與平面PCD所成角
在直角三角形PAD中，
∵PA=

3

，AD=1，M是PD的中點，
∴AM=1，
在直角三角形PAE中
∵PA=

3

，AE=

3

2

∴AF=

15

5

在直角三角形MAF中
sin∠AMF=sinθ=

AF

MA

=

15

5

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，直線與平面所成的角，其中（1）的關鍵是掌握線面垂直的判定定理，（2）中關鍵是求出直線AC與PD的方向向量，（3）中的關鍵是求出直線MA與平面PCD所成角的平面解．