Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線、過原點(diǎn)，若，

（1）求的最值；

（2）求證；四邊形的面積為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（1）的最小值為. 的最大值為.（2）見證明

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率及橢圓過點(diǎn)可聯(lián)立方程組求解（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，再設(shè)，，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系可求出，，由可化簡得（1）根據(jù)，由k的范圍可求出的最值（2）設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則，再由即可求解.

（Ⅰ）由題意，，又，

解得：，，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，再設(shè)，，

聯(lián)立，得.

…①

，，

，，

，

，

，得.

（1）

當(dāng)（此時(shí)滿足①式），即直線平行于軸時(shí)，的最小值為.

又直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則.

有，

又，可得.

所以.

的最大值為.

(2)設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則

.

.