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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】對于集合,,,.集合中的元素個數記為.規(guī)定:若集合滿足,則稱集合具有性質

          (I)已知集合,,寫出,的值;

          (II)已知集合,為等比數列,,且公比為,證明:具有性質

          (III)已知均有性質,且,求的最小值.

          【答案】(I); (II)見解析; (III).

          【解析】

          ()分別求得A+A,B+B,然后可得的值;

          ()將原問題進行等價變形,然后利用反證法證明題中的結論即可;

          ()原問題等價于任意兩個元素之和均不相同,且任意兩個不同元素之差的絕對值均不相同.據此整理計算即可確定的最小值.

          I)由題意可得:,

          II)要證具有性質,只需證明,若,則.

          假設上式結論不成立,即若,則.

          ,即

          ,.

          因為上式的右邊為的倍數,而上式的左邊為的倍數,所以上式不成立.

          故假設不成立,原命題成立.

          III)由題意,集合具有性質,等價于任意兩個元素之和均不相同.

          如,對于任意的,有

          等價于,即任意兩個不同元素之差的絕對值均不相同.

          ,

          所以具有性質.

          因為集合均有性質,且

          所以,當且僅當時等號成立.

          所以的最小值為.

          練習冊系列答案
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          ③若a0,b=2,則方程g(x)=0有兩個實根;

          ④若a0,b=2,則方程g(x)=0有三個實根.

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