Question

19、如圖四棱錐P-ABCD，PC⊥面ABCD，PC=2，面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ） 當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，AP∥面EBD？并證明；
（Ⅱ） 是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）令E點(diǎn)為PC的中點(diǎn)，連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OE，由三角形中位線法則，易得OE∥PA，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到AP∥面EBD，進(jìn)而得到結(jié)論．
（II）連接AC，由正方形對(duì)角線互相垂直，則已知中PC⊥面ABCD，我們易得BD⊥AE，BD⊥AC，由線面垂直的判定定理得BD⊥平面PAC，再由線面垂直的性質(zhì)即可得到不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)E點(diǎn)為PC的中點(diǎn)時(shí)，AP∥面EBD
連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OE，
∵O為AC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)
∴OE∥PA
又由OE?面EBD，PA?面EBD
∴AP∥面EBD
（Ⅱ）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．
證明如下：連接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC．
∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握空間直線與直線、直線與平面平行或垂直的判定定理及證明步驟是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．